MATH60230 - Séance 8

Vincent Grégoire

vincent.gregoire@hec.ca

HEC Montréal

Saad Ali Khan

saad-ali.khan@hec.ca

HEC Montréal

Plan

• Données de panel
• Biais de variable omise
• Effets fixes
• Erreurs standards groupées

Lectures :

• Petersen (2008)
• Baltagi (2022) chap. 12 jusqu’à 12.2.1 (inclus)

Données de panel

Introduction

Un ensemble de données est sous la forme d’un “panel” lorsque nous avons plusieurs observations (généralement au fil du temps) sur chaque individu ou unité pour chaque variable.

Y_{it}\equiv la valeur de la variable Y pour l’individu i au temps t
pour t=1,\ldots,T et i=1,\ldots,N

• Séries de prix, dividendes et bénéfices pour de nombreuses actions
• Séries de rendements obligataires pour divers gouvernements ou échéances ou cotes de crédit
• Séries de prix à terme à diverses échéances ou prix d’options à divers prix d’exercice

Exemple : SEC MIDAS LitVol(’000)

Ticker	A	AA	AACI	AADI	AAGR	AAL	AAMC	AAME	AAN	AAOI	...	ZTEK	ZTS	ZUMZ	ZUO	ZVIA	ZVRA	ZVSA	ZWS	ZYME	ZYXI
Date
2024-07-01	800.319	995.683	0.0	82.344	322.091	8315.465	2.82	0.051	431.808	737.982	...	4.05	429.642	173.062	383.065	66.869	180.628	3.565	368.583	70.457	55.611
2024-07-02	535.32	1286.891	0.0	186.901	260.099	6145.214	5.266	1.673	352.509	993.449	...	5.367	540.356	149.839	327.406	65.792	86.322	0.985	304.206	103.186	50.952
2024-07-03	353.257	1647.61	0.002	56.845	116.272	4710.886	0.002	0.064	119.644	391.225	...	6.211	349.412	80.541	136.898	54.816	35.157	1.181	215.671	26.862	16.952
2024-07-05	284.856	822.498	0.0	147.106	329.09	7176.805	1.172	1.604	228.559	640.502	...	1.898	358.113	116.616	228.105	65.782	79.242	1.78	203.873	88.066	28.105
2024-07-08	354.793	1067.206	0.13	57.828	175.742	8213.584	1.771	2.342	190.217	980.914	...	13.724	412.357	112.732	786.813	67.608	89.607	1.915	214.391	126.635	41.124
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
2024-09-24	232.23	3109.598	<NA>	59.912	53.658	8101.117	<NA>	1.067	476.413	2143.362	...	0.895	363.573	88.349	268.977	36.054	745.519	10.586	408.781	122.893	23.035
2024-09-25	280.864	1593.902	<NA>	15.899	159.98	7245.156	<NA>	0.892	471.298	750.111	...	5.189	347.512	92.502	209.866	67.828	742.23	14.732	309.973	112.524	20.077
2024-09-26	484.596	3132.624	<NA>	22.792	<NA>	18221.691	<NA>	4.106	934.983	940.721	...	6.941	324.956	94.874	223.132	31.602	424.939	5.25	336.59	91.298	25.922
2024-09-27	535.44	1937.906	<NA>	34.539	<NA>	8583.044	<NA>	2.019	257.512	1098.977	...	6.577	272.721	85.594	324.826	26.074	539.017	28.006	472.623	111.826	43.774
2024-09-30	392.812	976.334	<NA>	63.99	<NA>	7218.296	<NA>	3.844	2921.026	853.879	...	3.356	369.675	107.455	304.86	38.376	315.584	5.785	347.917	128.399	19.274

64 rows × 3981 columns

Données en panel

Les ensembles de données en panel peuvent être :

• Large (gros N) ou étroit (petit N)
  
• Long (gros T) ou court (petit T)
  
• Équilibré (T_i = T_j = T \; \forall \; i,j) ou déséquilibré (certains i ont plus d’observations que d’autres.)

Le panel précédent est :

• Large (N=3981)
• Relativement long (T=64)

Les panels déséquilibrés ne sont pas spécialement difficiles, mais l’algèbre devient plus complexe. Pour cette raison, nous allons parler uniquement des panneaux équilibrés.

Effets communs et regroupement

Supposons que nous voulons étudier l’impact des flux de trésorerie des entreprises CF sur les dépenses d’investissement des entreprises I. Qu’est-ce que cela veut dire?

1. Voulons-nous savoir comment les dépenses d’investissement d’une entreprise réagissent durant les périodes où les flux de trésorerie sont élevés ?

• Cela signifie que nous sommes intéressés par la variation dans le temps.

• Nous pourrions effectuer une régression temporelle pour chaque i:
  I_{it}=stuff+\beta_{i}\cdot CF_{it}+e_{it}

MIDAS

		Security	McapRank	TurnRank	VolatilityRank	PriceRank	LitVol('000)	OrderVol('000)	Hidden	TradesForHidden	HiddenVol('000)	TradeVolForHidden('000)	Cancels	LitTrades	OddLots	TradesForOddLots	OddLotVol('000)	TradeVolForOddLots('000)
Ticker	Date
A	2024-07-01	Stock	10.0	7.0	3.0	9.0	800.319	37442.439	5802.0	23316.0	366.567	1166.886	274839.0	17330.0	17147.0	23127.0	396.583	1161.27
	2024-07-02	Stock	10.0	6.0	3.0	9.0	535.32	44473.496	4714.0	18956.0	248.298	783.618	309707.0	14202.0	15164.0	18912.0	324.794	781.162
	2024-07-03	Stock	10.0	7.0	3.0	9.0	353.257	24631.062	3832.0	12598.0	232.964	586.221	160482.0	8739.0	9697.0	12571.0	231.621	585.058
	2024-07-05	Stock	10.0	5.0	2.0	9.0	284.856	30088.535	2901.0	12704.0	135.068	419.924	228535.0	9772.0	10699.0	12672.0	185.578	419.138
	2024-07-08	Stock	10.0	7.0	1.0	9.0	354.793	24877.289	3355.0	13779.0	180.036	534.829	217195.0	10407.0	11166.0	13761.0	224.297	533.815
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
ZYXI	2024-09-24	Stock	4.0	2.0	5.0	4.0	23.035	2757.671	128.0	816.0	4.395	27.43	22132.0	686.0	694.0	814.0	12.818	27.327
	2024-09-25	Stock	4.0	2.0	5.0	4.0	20.077	2233.598	105.0	743.0	2.271	22.348	20306.0	636.0	657.0	741.0	12.3	22.329
	2024-09-26	Stock	4.0	2.0	5.0	4.0	25.922	2236.208	195.0	870.0	5.82	31.742	20308.0	669.0	751.0	864.0	16.211	31.629
	2024-09-27	Stock	4.0	3.0	9.0	4.0	43.774	3139.279	535.0	1430.0	15.749	59.523	28486.0	887.0	1168.0	1422.0	20.682	59.276
	2024-09-30	Stock	4.0	2.0	6.0	4.0	19.274	2357.55	72.0	593.0	1.699	20.973	23045.0	521.0	503.0	593.0	9.63	20.973

248961 rows × 17 columns

Effets communs et regroupement

2. Voulons-nous savoir si les entreprises avec des flux de trésorerie plus élevés tendent à investir plus que celles avec des flux de trésorerie plus faibles ?

• Cela signifie que nous sommes intéressés par la variation entre les entreprises.

• Nous pourrions effectuer une régression transversale pour chaque t:
  I_{it}=stuff+\beta_{t}\cdot CF_{it}+e_{it}

MIDAS

		Security	McapRank	TurnRank	VolatilityRank	PriceRank	LitVol('000)	OrderVol('000)	Hidden	TradesForHidden	HiddenVol('000)	TradeVolForHidden('000)	Cancels	LitTrades	OddLots	TradesForOddLots	OddLotVol('000)	TradeVolForOddLots('000)
Date	Ticker
2024-07-01	A	Stock	10.0	7.0	3.0	9.0	800.319	37442.439	5802.0	23316.0	366.567	1166.886	274839.0	17330.0	17147.0	23127.0	396.583	1161.27
	AA	Stock	9.0	9.0	5.0	8.0	995.683	69573.964	2350.0	19386.0	159.781	1155.464	305304.0	16885.0	13209.0	19225.0	335.835	1150.461
	AACI	Stock	3.0	1.0	1.0	5.0	0.0	33.711	0.0	0.0	0.0	0.0	77.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0
	AADI	Stock	2.0	8.0	6.0	2.0	82.344	2807.266	216.0	1105.0	15.517	97.861	13498.0	883.0	674.0	1099.0	22.437	97.64
	AAGR	Stock	1.0	10.0	10.0	1.0	322.091	8819.409	728.0	1855.0	177.737	499.828	6567.0	1123.0	326.0	1850.0	11.157	494.757
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
2024-09-30	ZVRA	Stock	5.0	9.0	8.0	4.0	315.584	14270.604	1053.0	4522.0	77.934	393.518	50675.0	3456.0	2760.0	4508.0	79.422	393.229
	ZVSA	Stock	1.0	9.0	7.0	2.0	5.785	206.686	15.0	100.0	1.118	6.903	1260.0	85.0	72.0	100.0	2.568	6.903
	ZWS	Stock	8.0	7.0	2.0	7.0	347.917	20885.803	1660.0	8262.0	89.895	437.812	184048.0	6588.0	5949.0	8244.0	138.253	436.824
	ZYME	Stock	6.0	8.0	5.0	5.0	128.399	7992.542	887.0	3718.0	24.615	153.014	75387.0	2821.0	2952.0	3708.0	60.181	152.852
	ZYXI	Stock	4.0	2.0	6.0	4.0	19.274	2357.55	72.0	593.0	1.699	20.973	23045.0	521.0	503.0	593.0	9.63	20.973

248961 rows × 17 columns

Effets communs et regroupement

• Que se passe-t-il si le premier effet est constant entre les entreprises ?
  
• Que se passe-t-il si le second effet est constant dans le temps ?

En effectuant N ou T régressions séparées, nous utiliserons nos données de manière inefficace.
Cela signifie que les erreurs standards sont plus grandes que nécessaire.

• Au lieu de cela, nous pourrions effectuer une régression comme
  I_{it}=stuff+\beta\cdot CF_{it}+e_{it}

• Nous appelons cela une régression panel.

  Cela restreint \beta_i = \beta_t = \beta

• Nous appelons cela la restriction d’effet commun ou de pooling.

Nous pouvons estimer la régression ci-dessus en utilisant OLS simplement en empilant nos données.

Empilage de y

\mathbf{y} = \left[\begin{array}{c}y_{1,1}\\ y_{1,2}\\ \vdots \\ y_{1, T} \\ y_{2,1}\\ y_{2,2}\\ \vdots \\ y_{2, T}\\ y_{I,1}\\ \vdots \\ y_{I, T} \end{array} \right]

Empilage de X

\mathbf{X} = \left[\begin{array}{ccccc} x_{1, 1}^{(1)} & x_{1, 1}^{(2)} & \cdots & x_{1, 1}^{(K-1)} & x_{1,1}^{(K)} \\ x_{1, 2}^{(1)} & x_{1, 2}^{(2)} & \cdots & x_{1, 2}^{(K-1)} & x_{1,2}^{(K)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_{1, T}^{(1)} & x_{1, T}^{(2)} & \cdots & x_{1, T}^{(K-1)} & x_{1,T}^{(K)} \\ x_{2, 1}^{(1)} & x_{2, 1}^{(2)} & \cdots & x_{2, 1}^{(K-1)} & x_{2,1}^{(K)} \\ x_{2, 2}^{(1)} & x_{2, 2}^{(2)} & \cdots & x_{2, 2}^{(K-1)} & x_{2,2}^{(K)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_{2, T}^{(1)} & x_{2, T}^{(2)} & \cdots & x_{2, T}^{(K-1)} & x_{2,T}^{(K)} \\ x_{I, 1}^{(1)} & x_{I, 1}^{(2)} & \cdots & x_{I, 1}^{(K-1)} & x_{I,1}^{(K)} \\ x_{I, 2}^{(1)} & x_{I, 2}^{(2)} & \cdots & x_{I, 2}^{(K-1)} & x_{I,2}^{(K)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_{I, T}^{(1)} & x_{I, T}^{(2)} & \cdots & x_{I, T}^{(K-1)} & x_{I,T}^{(K)} \end{array} \right]

Restriction de pooling

Nous pouvons tester la restriction de pooling tout comme toute autre restriction similaire en OLS.

Supposons que nous testions \beta_i = \beta \; \forall i ; cela représente R = N-1 restrictions.

• Nous effectuons nos N régressions de séries temporelles et obtenons N séries différentes de résidus \{\hat{e}_{i,1}, \ldots, \hat{e}_{i,T}\}
  
• RSS_U \equiv \sum_{i=1}^N ( \sum_{t=1}^T \hat{e}_{i,t}^2 )
  
• Puis nous exécutons une régression sur nos données empilées et obtenons une série de résidus \{\hat{u}_{1}, \ldots, \hat{u}_{N \cdot T}\}
  
• RSS_R \equiv \sum_{t=1}^{N \cdot T} \hat{u}_{t}^2
  
• Nous pouvons alors calculer la statistique F habituelle F = \frac{RSS_R - RSS_U}{RSS_U} \cdot \frac{N \cdot (T - k)}{R} \sim F(R,N \cdot (T - k)) \; \text{sous} \; H_0 où k = 1 + le nombre de variables dans stuff.

Biais de variable omise

Rappelons notre révision de l’OLS, où nous avons mentionné une méthode alternative pour estimer \widehat{\beta}_{i} :

1. Régressons y sur toutes les autres variables X_{j}\neq X_{i} et sauvegardons les résidus \widehat{\varepsilon}_{y}.
2. Régressons X_{i} sur toutes les autres variables X_{j}\neq X_{i} et sauvegardons les résidus \widehat{\varepsilon}_{x}.
3. \widehat{\beta}_{i} est le coefficient de la régression de \widehat{\varepsilon}_{y} sur \widehat{\varepsilon}_{x}.

Cela montre que \widehat{\beta}_{i} capture l’effet de X_{i} sur y qui ne peut pas être expliqué par d’autres variables X_{j}.

Problème

Que se passe-t-il si nous avons oublié d’inclure une variable importante X_{j} ?
Alors nous pourrions avoir un biais de variable omise !

Supposons que le vrai modèle est
y_{t}=\beta_{X}\cdot X_{t}+\beta_{Z}\cdot Z_{t}+e_{t}
mais que nous omettons Z_{t} et utilisons à la place OLS pour estimer

y_{t}=\beta_{X}\cdot X_{t}+e_{t}

Est-ce que \widehat{\beta}_{X} sera biaisé ?

\begin{aligned} E(\widehat{\beta}_{X}) &=\operatorname{Cov}\left( y_{t},X_{t}\right) \cdot\operatorname{Var}\left( X_{t}\right)^{-1}\\ &= \operatorname{Cov}\left( \beta_{X}\cdot X_{t}+\beta_{Z}\cdot Z_{t}+e_{t},X_{t}\right) \cdot\operatorname{Var}\left( X_{t}\right)^{-1}\\ &= \left[ \beta_{X}\cdot\operatorname{Var}\left( X_{t}\right) +\beta_{Z}\cdot\operatorname{Cov}\left( Z_{t},X_{t}\right) +\operatorname{Cov}\left( e_{t},X_{t}\right) \right] \cdot\operatorname{Var}\left( X_{t}\right)^{-1}\\ &= \beta_{X}+\beta_{Z}\cdot\operatorname{Cov}\left( Z_{t},X_{t}\right)\cdot\operatorname{Var}\left( X_{t}\right)^{-1}\\ &= \beta_{X}+\beta_{Z}\cdot\beta_{ZX} \end{aligned}

Donc, biais \iff \beta_{Z}\cdot\beta_{ZX} \neq 0.

Biais de variable omise

Nous pourrions penser que de nombreuses choses autres que CF influencent I :

• Les entreprises dans des industries à forte intensité de capital (par exemple, la production d’électricité, fabrication aéronautique) pourraient investir plus que celles d’autres industries (par exemple, franchises de restauration rapide).
• Les entreprises pourraient investir beaucoup moins que d’habitude lors de récessions (faible demande) ou plus que d’habitude lorsque les taux d’intérêt sont faibles.

Si nous n’ajoutons pas de variables supplémentaires pour contrôler ces effets, nos estimations de \beta peuvent être biaisées.

• CF_{it} est-il corrélé avec la ou les variables manquantes ?

C’est pourquoi nous avons inclus stuff dans les régressions panel ci-dessus.

Effets fixes

Problème

Que faire si nous n’avons pas de données sur les variables manquantes ?

Solution

Dans de nombreux cas (mais pas tous), nous pouvons ajouter un ensemble de variables indicatrices.

Nous appelons cela les fffets fixes.

Effets fixes d’entreprise (ou entité)

Cas 1 :

Les variables manquantes sont constantes au fil du temps t mais pas pour chaque i.

• Nous pouvons ajouter N variables indicatrices, une pour chaque valeur de i.
• Elles captureront l’effet global de toutes les variables omises qui sont constantes dans le temps.

Exemple

Si I_{it} dépend de CF_{it} et de l’industrie de l’entreprise, ces variables indicatrices captureront cet effet.

Effets fixes de temps

Cas 2

Les variables manquantes sont constantes pour chaque i mais pas dans le temps t.

• Nous pouvons ajouter T variables indicatrices, une pour chaque période de temps t.
  Nous appelons cela les effets fixes de temps.
• Elles captureront l’effet global de toutes les variables omises qui sont les mêmes pour tous les i.

Exemple

Si I_{it} dépend de CF_{it} et de la croissance du PIB ou de l’écart de production, ces variables indicatrices captureront ces effets.

Effets fixes d’entreprise et de temps

Cas 3

Certaines variables manquantes sont constantes pour chaque i, d’autres pour chaque t.

• Nous pouvons ajouter N+T variables indicatrices, une pour chaque période de temps t et une pour chaque valeur de i.
• Nous avons largement assez d’observations pour estimer les deux ! (N \cdot T \gg N + T)

Effets fixes

Quelques points à noter :

1. Inclure toutes les variables indicatrices N ou T signifie que nous ne pouvons pas également inclure une constante !
2. Inclure les effets fixes de temps signifie que nous ne pouvons inclure aucune variable qui varie uniquement dans le temps (par exemple, les taux des bons du Trésor, les rendements du portefeuille de marché, etc.)
3. Nous pourrions inclure un nombre moins élevé de variables indicatrices si nous le souhaitons. (une par code postal ? code SIC ? année ?)
4. Parce que nous sommes intéressés par \beta, nous ne rapportons généralement pas les (nombreux!) coefficients sur les variables indicatrices.

Effets fixes

Le modèle à effets fixes ressemble à
I_{it}=\alpha_{i}+\beta\cdot CF_{it}+e_{it}

C’est équivalent à utiliser OLS pour estimer
I_{it}=\left( \sum_{j=1}^N\alpha_{j}\cdot D_{j}\right) +\beta\cdot CF_{it}+e_{it}
où D_{j}=1 pour l’entreprise j et =0 sinon.

Effets fixes

Cependant, ce n’est pas la manière dont les estimations des effets fixes sont généralement programmées.

• Lorsque N est grand, notre matrice X'X est large.

• L’inversion de grandes matrices est relativement lente.

• Pour éviter cela, nous remplaçons chaque variable par son écart par rapport à sa valeur moyenne dans le temps.
  \tilde{y}_{it} \equiv y_{it} - T^{-1} \cdot \left( \sum_{t=1}^T y_{it} \right)

• L’OLS sur \tilde{I}_{it}= \beta\cdot \tilde{CF}_{it}+e_{it} donnera des \hat{\beta}, \hat{e}_{it}, etc. identiques aux précédents, mais sera bien plus rapide !

C’est une des raisons pour lesquelles nous aimons utiliser du code optimisé pour les données de panel.

Estimation des modèles de données de panel

Package Python pour estimer des modèles linéaires en finance et en économie :

• Par Kevin Sheppard, Université d’Oxford
• Modèles de données de panel avec effets fixes (PanelOLS)
• Estimation de Fama-MacBeth (FamaMacBeth)
• Modèles à variables instrumentales : moindres carrés en deux étapes (IV2SLS) - prochaine séance
• Méthode généralisée des moments (GMM, IVGMM)
• Estimation et test de modèles d’évaluation d’actifs - prochain cours
• ➕➕➕ beaucoup plus

Pour plus de détails sur l’utilisation pour les données de panel, consultez mon article de blogue Estimating standard errors in panel data with Python and linearmodels

Inférence

Problème

Comment testons-nous les hypothèses sur \beta ?

Solution

Traitez comme pour OLS !

Problème

L’inférence OLS suppose que les erreurs sont i.i.d.

• Cela signifie que E(e_{it} \cdot e_{jt}) = 0 = E(e_{it} \cdot e_{i\tau}) \quad \forall i \neq j, t \neq \tau
• Cela est souvent peu réaliste !

Solution

C’est souvent difficile !

• Si nous connaissons la structure des corrélations, nous pouvons essayer de compenser (ajout de retards, ou utilisation d’erreurs standards ‘groupées’).
• Si nous ne le savons pas, mais que N, T sont “grands”, nous pouvons utiliser des corrections non paramétriques.

Erreurs standards groupées

Nous pouvons écrire l’équation de régression panel comme :

y_{i,t}=X_{i,t}\beta+\varepsilon_{i,t}

Nous savons que si nous estimons \beta avec OLS, l’estimateur aura la variance suivante :

Var\left( \widehat{\beta}_{OLS}\right) =\sigma_{\varepsilon}^{2}\cdot\left(X^{\prime}X\right) ^{-1}

lorsque les erreurs \varepsilon_{i,t} sont i.i.d.

Problème

Mais que se passe-t-il si les erreurs sont corrélées au sein de chaque entreprise i ou période de temps t ?

Erreurs standards groupées

Supposons que les données ont un effet d’entreprise non observé qui est fixe :

X_{i,t} = \alpha_i + \nu_{i,t}.

Les résidus peuvent être spécifiés comme

\varepsilon_{i,t} = \gamma_i + \eta_{i,t}.

Erreurs standards groupées

À la fois la variable indépendante et le résidu sont corrélés entre les observations de la même entreprise, mais sont indépendants entre les entreprises :

\begin{aligned} corr(X_{i,t}, X_{j,s}) &= 1 \text{ pour } i=j \text{ et } t=s\\ &= \rho_{X} = \sigma^2_{\alpha} / \sigma^2_X \text{ pour } i=j \text{ et tous } t\neq s\\ &= 0 \text{ pour tous } i\neq j \end{aligned}

\begin{aligned} corr(\varepsilon_{i,t}, \varepsilon_{j,s}) &= 1 \text{ pour } i=j \text{ et } t=s\\ &= \rho_{\varepsilon} = \sigma^2_{\gamma} / \sigma^2_{\varepsilon} \text{ pour } i=j \text{ et tous } t\neq s\\ &= 0 \text{ pour tous } i\neq j. \end{aligned}

Alors la variance de \widehat{\beta} est

Var\left( \widehat{\beta}\right) = \frac{\sigma^2_{\varepsilon}}{\sigma^2_{X} NT} (1+(T-1)\rho_X \rho_{\varepsilon}).

Erreurs standards groupées

La formule exacte pour l’erreur standard groupée est :

Var\left( \widehat{\beta}_{firm}\right) = \frac{N(NT-1)\sum_{i=1}^N\left(\sum_{t=1}^T X_{i,t}\varepsilon_{i,t}\right)^2}{(NT-k)(N-1)\left(\sum_{i=1}^N\sum_{t=1}^T X_{i,t}^2\right)^2}.

• Puisque les autocorrelations peuvent être positives ou négatives, il est possible que l’erreur standard OLS sous- ou surestime l’erreur standard réelle.
• La corrélation des résidus au sein d’un cluster est le problème que les erreurs standards groupées sont conçues pour corriger.
• Cette corrélation peut être de n’importe quelle forme; aucune structure paramétrique n’est supposée. Cependant, la somme au carré de X_{i,t}\varepsilon_{i,t} est supposée avoir la même distribution à travers les clusters.

Erreurs standards groupées par entreprise

		Entreprise 1			Entreprise 2			Entreprise 3
Entreprise 1	\epsilon_{11}^2	\epsilon_{11}\epsilon_{12}	\epsilon_{11}\epsilon_{13}	0	0	0	0	0	0
	\epsilon_{12}\epsilon_{11}	\epsilon_{12}^2	\epsilon_{12}\epsilon_{13}	0	0	0	0	0	0
	\epsilon_{13}\epsilon_{11}	\epsilon_{13}\epsilon_{12}	\epsilon_{13}^2	0	0	0	0	0	0
Entreprise 2	0	0	0	\epsilon_{21}^2	\epsilon_{21}\epsilon_{22}	\epsilon_{21}\epsilon_{23}	0	0	0
	0	0	0	\epsilon_{22}\epsilon_{21}	\epsilon_{22}^2	\epsilon_{22}\epsilon_{23}	0	0	0
	0	0	0	\epsilon_{23}\epsilon_{21}	\epsilon_{23}\epsilon_{22}	\epsilon_{23}^2	0	0	0
Entreprise 3	0	0	0	0	0	0	\epsilon_{31}^2	\epsilon_{31}\epsilon_{32}	\epsilon_{31}\epsilon_{33}
	0	0	0	0	0	0	\epsilon_{32}\epsilon_{31}	\epsilon_{32}^2	\epsilon_{32}\epsilon_{33}
	0	0	0	0	0	0	\epsilon_{33}\epsilon_{31}	\epsilon_{33}\epsilon_{32}	\epsilon_{33}^2

Adapté de Petersen (2008)

Erreurs standards groupées

Le même principe s’applique aux effets de temps :

\begin{aligned} X_{i,t} &= \zeta_t + \nu_{i,t}\\ \varepsilon_{i,t} &= \delta_t + \eta_{i,t} \end{aligned}

\Rightarrow Var\left( \widehat{\beta}_{time}\right) est le même que pour les erreurs groupées par entreprise, il suffit d’échanger T et N.

Erreurs standards groupées

Que se passe-t-il s’il y a à la fois des effets fixes d’entreprise et de temps ?

\begin{aligned} X_{i,t} &= \alpha_i +\zeta_t + \nu_{i,t}\\ \varepsilon_{i,t} &= \gamma_i +\delta_t + \eta_{i,t} \end{aligned}

\Rightarrow Var\left( \widehat{\beta}_{firm\&time}\right) = Var\left( \widehat{\beta}_{firm}\right) + Var\left( \widehat{\beta}_{time}\right) - Var\left( \widehat{\beta}_{HC}\right)

où Var\left( \widehat{\beta}_{HC}\right) sont les erreurs standards de White.

Erreurs standards groupées par entreprise et temps

		Entreprise 1			Entreprise 2			Entreprise 3
Entreprise 1	\epsilon_{11}^2	\epsilon_{11}\epsilon_{12}	\epsilon_{11}\epsilon_{13}	\epsilon_{11}\epsilon_{21}	0	0	\epsilon_{11}\epsilon_{31}	0	0
	\epsilon_{12}\epsilon_{11}	\epsilon_{12}^2	\epsilon_{12}\epsilon_{13}	0	\epsilon_{12}\epsilon_{22}	0	0	\epsilon_{12}\epsilon_{32}	0
	\epsilon_{13}\epsilon_{11}	\epsilon_{13}\epsilon_{12}	\epsilon_{13}^2	0	0	\epsilon_{13}\epsilon_{23}	0	0	\epsilon_{13}\epsilon_{33}
Entreprise 2	\epsilon_{21}\epsilon_{11}	0	0	\epsilon_{21}^2	\epsilon_{21}\epsilon_{22}	\epsilon_{21}\epsilon_{23}	\epsilon_{21}\epsilon_{31}	0	0
	0	\epsilon_{22}\epsilon_{12}	0	\epsilon_{22}\epsilon_{21}	\epsilon_{22}^2	\epsilon_{22}\epsilon_{23}	0	\epsilon_{22}\epsilon_{32}	0
	0	0	\epsilon_{23}\epsilon_{13}	\epsilon_{23}\epsilon_{21}	\epsilon_{23}\epsilon_{22}	\epsilon_{23}^2	0	0	\epsilon_{23}\epsilon_{33}
Entreprise 3	\epsilon_{31}\epsilon_{11}	0	0	\epsilon_{31}\epsilon_{21}	0	0	\epsilon_{31}^2	\epsilon_{31}\epsilon_{32}	\epsilon_{31}\epsilon_{33}
	0	\epsilon_{32}\epsilon_{12}	0	0	\epsilon_{32}\epsilon_{22}	0	\epsilon_{32}\epsilon_{31}	\epsilon_{32}^2	\epsilon_{32}\epsilon_{33}
	0	0	\epsilon_{33}\epsilon_{13}	0	0	\epsilon_{33}\epsilon_{23}	\epsilon_{33}\epsilon_{31}	\epsilon_{33}\epsilon_{32}	\epsilon_{33}^2

Adapté de Petersen (2008)

Lectures complémentaires

Facultatif : Le reste de Baltagi (2022) chap 12 aborde des sujets de plus en plus sophistiqués :

• Effets aléatoires (12.2.2)
• Test du modèle groupé (12.5)
• Modèles de données de panel dynamiques (12.6)
• Estimation de différences en différences (12.7)

Références

Baltagi, Badi H. 2022. Econometrics. 6th ed. Classroom Companion: Economics. Springer Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-80149-6.

Petersen, Mitchell A. 2008. “Estimating Standard Errors in Finance Panel Data Sets: Comparing Approaches.” The Review of Financial Studies 22 (1): 435–80.